逻辑回归

本次作业的目的是建立一个逻辑回归模型，用于预测一个学生是否应该被大学录取。

简单起见，大学通过两次考试的成绩来确定一个学生是否应该录取。你有以前数届考生的成绩，可以做为训练集学习逻辑回归模型。每个训练样本包括了考生两次考试的成绩和对应的录取决定。

你的任务是建立一个分类模型，根据两次考试的成绩来估计考生被录取的概率。
本次实验需要实现的函数

• plot_data 绘制二维的分类数据。
• sigmoid函数
• cost_function 逻辑回归的代价函数
• cost_gradient 逻辑回归的代价函数的梯度，无正则化
• predict 逻辑回归的预测函数
• cost_function_reg 逻辑回归带正则化项的代价函数
• cost_gradient_reg 逻辑回归的代价函数的梯度，带正则化

# 导入需要用到的库
import numpy as np
import scipy.optimize as op
import matplotlib.pyplot as plt

数据可视化

在实现机器学习算法前，可视化的显示数据以观察其规律通常是有益的。本次作业中，你需要实现 plot_data 函数，用于绘制所给数据的散点图。你绘制的图像应如下图所示，两坐标轴分别为两次考试的成绩，正负样本分别使用不同的标记显示。

def plot_data(X, y):
    """This function plots the data points X and y into a new figure.
    It plots the data points with red + for the positive examples,
    and blue o the negative examples. X is assumed to be a Mx2 matrix.
    
    X: shape:nx2 
    y: shape:nx1
    """

    plt.figure()
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    m, _ = X.shape 
    flag_Admitted = 1        # 图例的标志位
    flag_Not_Admitted = 1
    for i in range(m):
        if y[i]==1:
            if flag_Admitted:
                plt.plot(X[i,0], X[i,1], 'r+', label='Admitted')
                flag_Admitted = 0
            else:
                plt.plot(X[i,0], X[i,1], 'r+')
        else:
            if flag_Not_Admitted:
                plt.plot(X[i,0], X[i,1], 'b.', label='Not Admitted')
                flag_Not_Admitted = 0
            else:
                plt.plot(X[i,0], X[i,1], 'b.')

    # ============================================================

    plt.xlabel("Exam 1 Score")
    plt.ylabel("Exam 2 Score")
    plt.legend(loc='upper right')

调用 plot_data，可视化第一个文件LR_data1数据。绘制的图像如下：‘

# 加载数据 注意使用 !ls 或 !find 命令确定数据文件所在的目录 dataXXXX 。
data = np.loadtxt("LR_data1.txt", delimiter=",")
X, y = data[:, :2], data[:, 2]  # X是二维的数据，y是标签

# 可视化数据
# ====================== YOUR CODE HERE ================
plot_data(X, y)
# ======================================================
plt.show()

绘制分类面

def plot_decision_boundary(theta, X, y):
    """绘制分类面。"""
    plot_data(X[:, 1:], y)

    _, d = X.shape

    if d <= 3:
        plot_x = np.array([np.min(X[:, 1])-2, np.max(X[:, 1])+2])
        plot_y = -1.0 / theta[2]*(theta[1]*plot_x + theta[0])
        plt.plot(plot_x, plot_y, 'm-', label="Decision Boundary")

        plt.xlim([30, 100])
        plt.ylim([30, 100])
    else:
        n_grid = 50
        u = np.linspace(-1, 1.5, n_grid)
        v = np.linspace(-1, 1.5, n_grid)

        z = np.zeros((n_grid, n_grid))

        for i in range(n_grid):
            for j in range(n_grid):
                uu, vv = np.array([u[i]]), np.array([v[j]])
                z[i, j] = np.dot(map_feature(uu, vv), theta)

        z = z.T

        CS = plt.contour(u, v, z, linewidths=2, levels=[0.0], colors=['m'])
        CS.collections[0].set_label('Decision boundary')

    plt.legend()

热身练习：Sigmoid函数

逻辑回归的假设模型为：

$$h_{\theta}(x) = g(\theta^{\mathrm{T}} x)$$

其中函数 $g(\cdot)$ 是Sigmoid函数，定义为：

$$g(z) = \frac{1}{1+\exp(-z)}$$

本练习中第一步需要你实现 Sigmoid 函数。在实现该函数后，你需要确认其功能正确。对于输入为矩阵和向量的情况，你实现的函数应当对每一个元素执行Sigmoid 函数。

def sigmoid(z):
    """Compute sigmoid function"""

    z = np.asarray(z)
    g = np.zeros_like(z)

    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    g = 1/(1+np.exp(-z))
    # ============================================================

    return g

# 测试 sigmoid 函数
z = np.array([-10.0, -5.0, 0.0, 5.0, 10.0])
g = sigmoid(z)
print("Value of sigmoid at [-10, -5, 0, 5, 10] are:\n", g)

Value of sigmoid at [-10, -5, 0, 5, 10] are:
 [4.53978687e-05 6.69285092e-03 5.00000000e-01 9.93307149e-01
 9.99954602e-01]

代价函数与梯度

现在你需要实现逻辑回归的代价函数及其梯度。补充完整cost_function函数，使其返回正确的代价。补充完整cost_gradient函数，使其返回正确的梯度。

逻辑回归的代价函数为:

$$J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \Big[ -y^{(i)} \log \big( h_{\theta}(x^{(i)}) \big) - (1-y^{(i)}) \log \big( 1-h_{\theta}(x^{(i)}) \big) \Big]$$

对应的梯度向量各分量为

$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{j}} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \big( h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)} \big) x_{j}^{(i)}$$

def cost_function(theta, X, y):
    """逻辑回归的代价函数，无正则项。"""
    J = 0.0
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    m, _ = X.shape
    hypothesis = sigmoid(np.dot(theta, X.T))
    J = 1/m * (-y * np.log(hypothesis) - (1-y) * np.log(1-hypothesis)).sum() # 由于log(0)的偶尔存在，这里会爆warning，但似乎并不影响结果
    # ============================================================
    return J

def cost_gradient(theta, X, y):
    """逻辑回归的代价函数的梯度，无正则项。"""
    m = 1.0*len(y)
    grad = np.zeros_like(theta)
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    # hypothesis = np.zeros_like(y)
    hypothesis = sigmoid(np.dot(theta, X.T))
    loss = hypothesis-y
    grad = 1/m * np.dot(loss, X) # 对公式进行向量形式的推导，得出这样的写法
    # ============================================================
    return grad

预测函数

在获得模型参数后，你就可以使用模型预测一个学生能够被大学录取。如果某学生考试一的 成绩为45，考试二的成绩为85，你应该能够得到其录取概率约为0.776。

你需要完成 predict 函数，该函数输出“1”或“0”。通过计算分类正确的样本百分数， 我们可以得到训练集上的正确率。

def predict(theta, X):
    """Predict whether the label is 0 or 1
    using learned logistic regression parameters theta.
    input： theta：model's parameters
            X: input samples
    output：0 or 1
    """
    m, _ = X.shape
    pred = np.zeros((m, 1), dtype=np.bool)

    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    g = sigmoid(np.dot(theta, X.T))
    for i in range(m):
        if g[i] > 0.5:
            pred[i] = 1
        else:
            pred[i] = 0
    # ============================================================

    return pred

使用scipy.optimize.fmin_cg学习模型参数

在本次作业中，希望你使用 scipy.optimize.fmin_cg 函数实现代价函数 $J(\theta)$ 的优化，得到最佳参数 $\theta^{*}$ 。

使用该优化函数的代码已经在程序中实现，调用方式示例如下：

ret = op.fmin_cg(cost_function,
                 theta,
                 fprime=cost_gradient,
                 args=(X, y),
                 maxiter=400,
                 full_output=True)
theta_opt, cost_min, _, _, _ = ret

其中cost_function为代价函数， theta 为需要优化的参数初始值， fprime=cost_gradient 给出了代价函数的梯度， args=(X, y) 给出了需要优化的函数与对应的梯度计算所需要的其他参数， maxiter=400 给出了最大迭代次数， full_output=True 则指明该函数除了输出优化得到的参数 theta_opt 外，还会返回最小的代价函数值 cost_min 等内容。

对第一组参数，得到的代价约为 0.203 (cost_min)。

def logistic_regression():
    """针对第一组数据建立逻辑回归模型。"""

    # 加载数据
    data = np.loadtxt("LR_data1.txt", delimiter=",")
    X, y = data[:, :2], data[:, 2]

    # 计算代价与梯度
    m, _ = X.shape
    X = np.hstack((np.ones((m, 1)), X))

    # 初始化参数
    theta_initial = np.ones_like(X[0])
    # 计算并打印初始参数对应的代价与梯度
    cost = cost_function(theta_initial, X, y)
    grad = cost_gradient(theta_initial, X, y)
    print("Cost at initial theta (zeros): ", cost)
    print("Gradient at initial theta (zeros): ", grad)
    # 使用 scipy.optimize.fmin_cg 优化模型参数
    args = (X, y)
    maxiter = 200
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    ret = op.fmin_cg(cost_function,
                     theta_initial,
                     cost_gradient,
                     args)
    # ============================================================
    theta_opt = ret   # 看过fmin_cg的代码之后，我决定这样修改老师的代码，可能是库版本的问题
    print("theta_op: \n", theta_opt)

    # 绘制分类面ret 
    plot_decision_boundary(theta_opt, X, y)
    plt.show()

    # 预测考试一得45分，考试二得85分的学生的录取概率
    x_test = np.array([1, 45, 85.0])
    prob = sigmoid(np.dot(theta_opt, x_test))
    print('For a student with scores 45 and 85, we predict an admission probability of: ', prob)

logistic_regression()

Cost at initial theta (zeros):  nan
Gradient at initial theta (zeros):  [ 0.4        20.81292044 21.84815684]
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.203498
         Iterations: 37
         Function evaluations: 111
         Gradient evaluations: 111
theta_op: 
 [-25.15777637   0.20620326   0.20144282]
For a student with scores 45 and 85, we predict an admission probability of:  0.7762612158589474


/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
  import sys
/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: RuntimeWarning: invalid value encountered in multiply
  import sys
/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:8: RuntimeWarning: overflow encountered in exp

/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:8: RuntimeWarning: overflow encountered in exp

/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
  import sys
/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: RuntimeWarning: invalid value encountered in multiply
  import sys

正则化的逻辑回归

数据可视化

调用函数plot_data可视化第二组数据 LR_data2.txt 。
正确的输出如下：

# 加载数据
data = np.loadtxt("LR_data2.txt", delimiter=",")
X, y = data[:, :2], data[:, 2]

# 可视化数据
# ====================== YOUR CODE HERE ================
plot_data(X, y)
# ======================================================
plt.show()

特征变换

创建更多的特征是充分挖掘数据中的信息的一种有效手段。在函数 map_feature 中，我们将数据映射为其六阶多项式的所有项。

def map_feature(X1, X2, degree=6):
    """Feature mapping function to polynomial features."""
    m = len(X1)
    assert len(X1) == len(X2)
    n = int((degree+2)*(degree+1)/2)

    out = np.zeros((m, n))

    idx = 0
    for i in range(degree+1):
        for j in range(i+1):
            # print i-j, j, idx
            out[:, idx] = np.power(X1, i-j)*np.power(X2, j)
            idx += 1

    return out

代价函数与梯度

逻辑回归的代价函数为

$$J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left [ -y^{(i)} \log \left (h_{\theta}(x^{(i)}) \right) - (1-y^{(i)}) \log \left ( 1- h_{\theta}(x^{(i)}) \right ) \right ] + \frac{\lambda}{2m} \sum_{j=1}^{n} \theta_{j}^{2}$$

对应的梯度向量各分量为：

完成以下函数：

• cost_function_reg()
• cost_gradient_reg()

def cost_function_reg(theta, X, y, lmb):
    """逻辑回归的代价函数，有正则项。"""
    m = 1.0*len(y)
    J = 0
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    hypothesis = sigmoid(np.dot(theta, X.T))
    J = 1/m * (-y * np.log(hypothesis) - (1-y) * np.log(1-hypothesis)).sum() # 由于log(0)的偶尔存在，这里会爆warning，但似乎并不影响结果
    J = J + lmb/(2*m) * np.dot(theta, theta) # 加入正则项
    # ============================================================
    return J

def cost_gradient_reg(theta, X, y, lmb):
    """逻辑回归的代价函数的梯度，有正则项。"""

    m = 1.0*len(y)
    grad = np.zeros_like(theta)
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    hypothesis = sigmoid(np.dot(theta, X.T))
    loss = hypothesis-y
    grad[0] = 1/m * (loss * X[:,0]).sum()
    for i in range(1,28):
        grad[i] = 1/m * (loss * X[:,i]).sum() + lmb/m * theta[i]

    # ============================================================
    return grad

模型训练

如果将参数$\theta$ 初始化为全零值，相应的代价函数约为 0.693。可以使用与前述无正则化项类似的方法实现梯度下降，
获得优化后的参数 $\theta^{*}$ 。
你可以调用 plot_decision_boundary 函数来查看最终得到的分类面。建议你调整正则化项的系数，分析正则化对分类面的影响!

参考输出图像：

def logistic_regression_reg(lmb=1.0):
    """针对第二组数据建立逻辑回归模型。"""

    # 加载数据
    data = np.loadtxt("LR_data2.txt", delimiter=",")
    X, y = data[:, :2], data[:, 2]

    # 计算具有正则项的代价与梯度

    # 注意map_feature会自动加入一列 1
    X = map_feature(X[:, 0], X[:, 1])
    print(X.shape)
    # 初始化参数
    theta_initial = np.zeros_like(X[0, :])

    # 计算并打印初始参数对应的代价与梯度
    cost = cost_function_reg(theta_initial, X, y, lmb=lmb)
    grad = cost_gradient_reg(theta_initial, X, y, lmb=lmb)
    print("Cost at initial theta (zeros): ", cost)
    print("Gradient at initial theta (zeros): \n", grad)

    # 使用 scipy.optimize.fmin_cg 优化模型参数
    args = (X, y, lmb)
    maxiter = 200
    # ====================== YOUR CODE HERE ======================
    ret = op.fmin_cg(cost_function_reg,
                     theta_initial,
                     cost_gradient_reg,
                     args)
    # ============================================================
    theta_opt = ret
    #print("Cost at theta found by fmin_cg: ", cost_min)
    print("theta_op: \n", theta_opt)

    # 绘制分类面
    plot_decision_boundary(theta_opt, X, y)
    plt.title("lambda = " + str(lmb))
    plt.show()

    # 计算在训练集上的分类正确率
    pred = predict(theta_opt, X)
    print("Train Accuracy: ", np.mean(pred == y)*100)
# 可选：尝试不同正则化系数lmb = 0.0, 1.0, 10.0, 100.0对分类面的影响
logistic_regression_reg() 

(118, 28)
Cost at initial theta (zeros):  0.6931471805599454
Gradient at initial theta (zeros): 
 [8.47457627e-03 1.87880932e-02 7.77711864e-05 5.03446395e-02
 1.15013308e-02 3.76648474e-02 1.83559872e-02 7.32393391e-03
 8.19244468e-03 2.34764889e-02 3.93486234e-02 2.23923907e-03
 1.28600503e-02 3.09593720e-03 3.93028171e-02 1.99707467e-02
 4.32983232e-03 3.38643902e-03 5.83822078e-03 4.47629067e-03
 3.10079849e-02 3.10312442e-02 1.09740238e-03 6.31570797e-03
 4.08503006e-04 7.26504316e-03 1.37646175e-03 3.87936363e-02]
Warning: Desired error not necessarily achieved due to precision loss.
         Current function value: 0.535776
         Iterations: 8
         Function evaluations: 75
         Gradient evaluations: 65
theta_op: 
 [ 1.22008591  0.6174169   1.18134764 -1.96102914 -0.84518957 -1.23644428
  0.09323171 -0.35130743 -0.35278837 -0.19758548 -1.46793288 -0.09276645
 -0.57816353 -0.25825218 -1.18239765 -0.27467132 -0.21615072 -0.06863601
 -0.25974267 -0.28202028 -0.56424266 -1.07964814 -0.0090027  -0.28241083
 -0.00667624 -0.31162077 -0.13714068 -1.03061176]

Train Accuracy:  49.87072680264292